毕奥-萨伐尔定律与安培环路定律的思考

一、毕奥-萨伐尔定律

毕奥-萨伐尔定理(Biot-Savart Law)： 电流元$Id\vec{l}$ 在空间某点P处产生的磁感应强度$d\vec{B}$的大小与电流元$Id\vec{l}$的大小成正比，与电流元$Id\vec{l}$所在处到P点的位置矢量和电流元$Id\vec{l}$之间的夹角的正弦成正比，而与电流元$Id\vec{l}$ 到P点的距离的平方成反比。
公式：
$\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{I , d\vec{\ell} \times \vec{r}}{|\vec{r}|^3}$

计算载流长直线导线产生的磁场
题目：
如果在一段有限长直线电流旁边P点，距离直线电流直线距离为$a$，计算P点出的磁感应场强B

题目的解法也比较简单，主要是利用了换元然后积分的思想

第一步：
$\frac{d\vec{y} \times \vec{r}}{r^3} = \frac{dy \cdot \sin \theta}{r^2} = \left( \frac{a}{\sin \theta} d\theta \right) \cdot \sin \theta \left( \frac{a}{\sin \theta} \right)^2 = \frac{\sin \theta d\theta}{a}$

第二步：
$\frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{d\vec{y} \times \vec{r}}{r^3} = \frac{\mu_0 I}{4\pi a} \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sin \theta d\theta$

于是求完积分得到
$\frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{d\vec{y} \times \vec{r}}{r^3} = \frac{\mu_0 I}{4\pi a}(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$

因为是无限长的直导线，所以可以近似取$\theta_1 = 0,theta_2 = \pi$

于是得到最终表达式：

$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}$

在学习这个定理的时候会很迷惑，这TM怎么推出来的这个定理，书上说，是由拉普拉斯抽象出来的，不愧是大神，NB

但是在之后学习安培环路定理的时候，我发现无限长直导线推导出来的磁感应强度的公式同样也是
$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}$
这不就相当于反过来论证了前面的定理的有效性

二、安培环路定理

安培环路定理：在真空的恒定磁场中，磁感强度B延任意闭合路径的积分的值，等于$\mu_0$乘以该闭合路径所包围的各电流的代数和
公式：

$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \Sigma I$

具体推导过程就不再赘述了，如果利用这个定理来求无线长直导线的磁场就手到擒来了
还是那上题来说
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = B \cdot 2\pi a = \mu_0 I$

于是得到

$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}$

三、结论

**安培环路定理(Ampère’s circuital law)和毕奥-萨伐尔定理(Biot-Savart law)**是电磁学中描述磁场和电流关系的两个基本定律，它们在概念上是相互联系的。

1. 应用范围：安培环路定理适用于稳恒电流产生的磁场，而毕奥-萨伐尔定理适用于非稳恒电流产生的磁场。

2. 宏观与微观：安培环路定理通常用于宏观电流分布，而毕奥-萨伐尔定理用于计算微观电流元素产生的磁场。